Matematiikka

Opintojakson keskeiset sisällöt ovat lukujoukot, rationaaliluvut (murtoluvut), ensimmäisen asteen yhtälö ja yhtälöpari, potenssit ja juuret, funktio, prosenttilaskenta ja verrannollisuus.

Opintojakson tarkoitus on vahvistaa ja täydentää lukion opinnoissa tarvittavia matematiikan tietoja ja taitoja.

Opintojakson keskeiset sisällöt ovat ongelmien muotoileminen yhtälöiksi, yhtälöiden ratkaiseminen, tulkinta ja arvioiminen, toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen, aritmeettinen lukujono sekä geometrinen lukujono.

Opintojakson keskeiset sisällöt ovat kuvioiden yhdenmuotoisuus, monikulmiot, suorakulmaisen kolmion trigonometria, ympyrä ja avaruuskappaleet.

Vahvistetaan yläkoulussa opittuja taitoja. Opitaan käyttämään geometrisia malleja ongelmien ratkaisuissa.

Opintojakson keskeiset sisällöt ovat lineaarinen, polynominen, ja eksponentiaalinen malli, matemaattinen mallintaminen sekä logaritmi.

Tavoitteena on oppia näkemään reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja osata kuvata niitä matemaattisilla malleilla, tottua arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta ja tutustua ennusteiden tekemiseen mallien pohjalta.

Opintojakson keskeisiä sisältöjä ovat vaihtoehtojen lukumäärän laskeminen, kombinaatiot, satunnaistodennäköisyys, tilastollinen todennäköisyys, peräkkäisten ja vaihtoehtoisten tapahtumien todennäköisyydet, tilastokuvaajien ja analyysin tekeminen ja tulkinta, tilastomuuttujat keskiarvo, mediaani, moodi ja keskihajonta.

Tavoitteita on perehtyä todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen perusteisiin. Oppia käyttämään apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan tiedon hakemiseen, käsittelyyn ja tutkimiseen.

Opintojakson keskeisiä sisältöjä ovat prosenttilaskenta, valuutat, verot, yksinkertainen korko, koron korko, tasalyhennys- ja annuiteettilainat ja lukujonot.

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden avulla, tuntee polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
• osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
• osaa käyttää ohjelmistoja matemaattisessa mallintamisessa, polynomi, rationaali- ja juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
• 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
• polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
• polynomien tekijät
• potenssifunktio ja potenssiyhtälö (eksponenttina positiivinen kokonaisluku)
• rationaalifunktiot ja -yhtälöt
• juurifunktiot ja -yhtälöt

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa ja muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
• osaa soveltaa yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
• harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa sisältäviä lauseita
• osaa käyttää ohjelmistoja tutkiessaan kuvioita ja kappaleita sekä niihin liittyvää geometriaa.

Keskeiset sisällöt:

• kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
• sini- ja kosinilause
• monikulmioihin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen laskeminen
• ympyrän ja sen osien ja siihen liittyvien suorien geometriaa
• suoraan lieriöön ja suoraan kartioon sekä palloon liittyvien pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
• ymmärtää yhtälön geometrisen merkityksen
• osaa ratkaista muotoa | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) | olevia itseisarvoyhtälöitä
• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
• osaa tutkia kaksiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
• osaa ratkaista tasogeometrian ongelmia vektoreiden avulla
• osaa käyttää ohjelmistoja käyrien ja vektoreiden tutkimisessa sekä niihin liittyvissä sovelluksissa.

Keskeiset sisällöt:

• käyrän yhtälö
• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälö
• yhtälöryhmä
• suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
• itseisarvoyhtälö
• pisteen etäisyys suorasta
• vektoreiden perusominaisuudet
• tason vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku sekä tason vektorin kertominen luvulla
• tason vektoreiden pistetulo, tason vektoreiden välinen kulma

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla
• tutkii sini- ja kosinifunktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
• osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x)
• osaa soveltaa sini- ja kosinifunktioiden yhteyttä sin² x + cos² x = 1
• tuntee eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
• osaa käyttää ohjelmistoja funktioiden tutkimisessa, yhtälöiden ratkaisemisessa ja sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt:

• suunnattu kulma ja radiaani
• yksikköympyrä
• sini- ja kosinifunktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
• sini- ja kosiniyhtälöiden ratkaiseminen
• murtopotenssi ja sen yhteys juureen
• eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
• logaritmi ja logaritmin laskusäännöt
• logaritmifunktiot ja -yhtälöt

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion rajaarvosta ja jatkuvuudesta
• ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
• kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
• osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
• hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot suljetulla välillä
• osaa käyttää ohjelmistoja rajaarvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt:

• funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
• polynomi ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
• sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat
• funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
• yhdistetty funktio ja sen derivointi
• funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään yksinkertaisten funktioiden integraalifunktioita
• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pintaalaan sekä tutustuu numeeriseen menetelmään määrätyn integraalin määrittämisessä
• osaa määrittää pintaaloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa, integraalifunktion määrittämisessä, määrätyn integraalin laskemisessa sovellusten yhteydessä sekä numeerisessa integroinnissa.

Keskeiset sisällöt:

• integraalifunktio ja tärkeimpien alkeisfunktioiden integrointi
• määrätty integraali
• suorakaidesääntö
• pintaalan ja tilavuuden laskeminen

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• osaa havainnollistaa diskreettiä tilastollista jakaumaa sekä määrittää ja tulkita jakauman tunnuslukuja
• osaa havainnollistaa kahden muuttujan yhteisjakaumaa sekä määrittää korrelaatiokertoimen ja regressiokäyrän
• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja laskusääntöihin
• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja tulkitsemaan sitä
• osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä tilastollisen tiedon esittämisessä
• osaa hyödyntää ohjelmistoja jakaumien havainnollistamisessa, tunnuslukujen määrittämisessä sekä todennäköisyyksien laskemisessa.

Keskeiset sisällöt:

• keskiluvut ja keskihajonta
• korrelaatio ja lineaarinen regressio
• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
• permutaatiot ja kombinaatiot
• todennäköisyyden laskusäännöt
• binomijakauma
• diskreetti todennäköisyysjakauma
• diskreetin jakauman odotusarvo

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
• soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
• oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
• osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt:

• aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
• korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
• talletukset ja lainat
• taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• syventää vektorilaskennan tuntemustaan ja oppii käyttämään vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa
• oppii tutkimaan xyz -koordinaatiston pisteitä, suoria ja tasoja vektoreiden avulla
• vahvistaa avaruusgeometrian osaamistaan ääriarvosovellusten yhteydessä
• tutustuu kahden muuttujan funktioon
• osaa käyttää ohjelmistoja vektoreiden, suorien, tasojen ja pintojen havainnollistamisessa sekä vektorilaskennassa.

Keskeiset sisällöt:

• vektoriesitys kolmiulotteisessa koordinaatistossa
• piste- ja ristitulo
• piste, suora ja taso avaruudessa
• kulma avaruudessa
• yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia avaruusgeometriassa
• kahden muuttujan funktio ja pinta avaruudessa

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• tietää, mikä on algoritmi, sekä oppii tutkimaan, kuinka algoritmit toimivat
• oppii ohjelmoimaan yksinkertaisia algoritmeja
• perehtyy logiikan käsitteisiin
• hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
• osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta

Keskeiset sisällöt:

• algoritmisen ajattelun peruskäsitteet: peräkkäisyys, valinta ja toisto
• vuokaavio
• yksinkertaisten algoritmien, lajittelualgoritmien tai yhtälön numeerisen ratkaisuun liittyvän algoritmin ohjelmointi
• konnektiivit ja totuusarvot
• kokonaislukujenjaollisuus, jakoyhtälö ja kongruenssi
• Eukleideen algoritmi
• aritmetiikan peruslause

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija:

• syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
• osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
• täydentää integraalilaskennan taitojaan
• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt:

• paloittain määritelty funktio
• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
• käänteisfunktio
• funktioiden rajaarvot äärettömyydessä
• epäoleelliset integraalit
• jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen

Moduulin tavoite on kerrata opiskelijan kanssa moduulien 1-12 keskeisiä sisältöjä ylioppilaskirjoituksia varten. Harjoitellaan vastausten muodostamista YO-kokeeseen sekä miten voidaan hyödyntää käytössä olevia ohjelmia parhaalla mahdollisella tavalla.